Make your own free website on Tripod.com

ตรรกศาสตร์  (Logic)

 

1.      ประพจน์ 

คือ  ประโยชน์ที่เป็นจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเพียงอย่างเดียว   ซึ่งอาจจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้    เช่น

            1. วันนี้วันพฤหัส    มีค่าความจริง  เป็น  จริง 

            2. 9 ¹ 3   มีค่าความจริง  เป็นเท็จ

ค่าความจริงของประพจน์จะแทนด้วย  “T”  เมื่อเป็น  จริง  และแทนด้วย  “F”  เมื่อเป็น  เท็จ

 

 

2.      นิเสธและตัวเชื่อมประพจน์

เราสามารถสร้างประพจน์ใหม่  ให้มีค่าความจริง  ตรงข้ามกับเดิม  โดยการเติม  นิเสธ (~)  เข้าไป

นอกจากนี้ประพจน์สองประพจน์สามารถเชื่อมกันได้ด้วยตัวเชื่อมประพจน์ต่าง ๆ กัน  4 แบบ  คือ

1.      ตัวเชื่อม  และ  เขียนแทนด้วย  Ù

2.      ตัวเชื่อม  หรือ  เขียนแทนด้วย  Ú

3.      ตัวเชื่อม  ถ้า...แล้ว  เขียนแทนด้วย  ®

4.      ตัวเชื่อม  ก็ต่อเมื่อ  เขียนแทนด้วย  «

 

ตารางแสดงค่าความเป็นไปต่าง

P

Q

P Ù Q

P Ú Q

P ® Q

P « Q

~P

T

T

F

F

T

F

T

F

T

F

F

F

T

T

T

F

T

F

T

T

T

F

F

T

F

F

T

T

หลักในการจำค่าความจริงสำหรับตัวเชื่อมต่าง ๆ

1.      “Ù”  เป็น  T  เมื่อทั้งคู่เป็น  T  นอกนั้น เป็น  F

2.      “Ú”   เป็น  F  เมื่อตั้งคู่เป็น  F  นอกนั้นเป็น  T

3.      “®”  เป็น  F  สำหรับ  T ® F  เพียงกรณีเดียวเท่านั้น  ที่เหลือเป็น  T

4.      “«”  ถ้าเหมือนกันเป็น  T  และถ้าต่างกันเป็น  F

 

 

3.      ตารางค่าความจริง  

เป็นตาราง  แจกแจง กรณี ต่าง ๆ ทุกกรณี   ซึ่ง  จะมีจำนวนกรณี   เท่ากับ  2n  ( n  คือจำนวนตัวแปร)   เช่น   มีตัวแปร  P Q  คือสองตัว  จะมีกรณีทั้งหมด   4  กรณี  (แอบดูตารางข้างบนได้นะ)

 

 

4.      ประพจน์ที่สมมูลกัน

          คือประพจน์  ที่มี    ค่าความจริงเหมือนกัน  

เมื่อเรานำ  สองประพจน์  นั้น ๆ มา  ก็ต่อเมื่อ  แล้วจะได้  ค่าความจริงเป็นจริง  เสมอ  (ใช้ในการทดสอบว่าสองประพจน์ ใด ๆ หรือมากกว่านั้น  สมมูลกันรึป่าว) 

เราจะเขียน แทน  ประพจน์ที่สมมูลกันว่า  “P º

เช่น  P  มีค่าความจริงเป็น จริง  และ  Q มีค่าความจริงเป็นจริง  แล้ว  P º Q  P สมมูลกับ  Q

 

 

5.      สัจนิรันดร์   (Tautology)

เราจะเรียกประพจน์  ที่  มีค่าความจริง  เป็น  จริง (T)  ทุกกรณีใด ๆ ๆ   ว่า  สัจจนิรันดร์

 

เช่น   (p®q) « (~q®~ p) จะเป็นสัจนิรันดร์    (ลองเขียน ตาราง  ดูนะ  แล้วเทียบดูว่า   มันจริงทุกกรณี หรือป่าว  ที่ว่า   p®q  กับ  ~q®~ p  จะก็ต่อเมื่อแล้ว  กลาย เป็นจริง  เสมอ  (ประมาณว่า  ทุกกรณีจะเหมือนกัน)

 

 

6.      ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ

คือ  ประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธที่มีตัวแปร  ประโยคเปิดไม่เป็นประพจน์  แต่ถ้าแทนตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วเราจะได้ประพจน์

 

 


เช่น   กำหนด  เอกภพสัมพัทธ์  คือ  เซตของจำนวนจริง 

            ประโยคเปิด  “ 5x + 3 = 3”   เราจะสังเกตเห็นว่า  เมื่อเรานำตัวในเอกภพ

สัมพัทธ์มาแทนค่า  แล้วเราจะได้ประพจน์ออกมา    ทั้งที่มีค่า ความจริงเป็น  จริง  กับ  มีค่าความจริงเป็น เท็จ

ดูนะ !!!   เอา 0  แทนค่าลงไป  ( 0 อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์  ซึ่งก็คือ  จำนวนจริง)  จะได้ 3 = 3  º T

 

 

การทำให้ประโยคเปิดให้เป็นประพจน์สามารถทำได้โดยการใส่  วลีบ่งปริมาณ   ซึ่งมีอยู่ด้วยกัน  2  ตัว  คือ  “"” (for  all หมายความว่า  ทุก ๆ)  และ “$” (for  some  หมายความว่า  บางตัว)

ข้อความ

เงื่อนไขที่ทำให้จริง

เงื่อนไขที่ทำให้เท็จ

"x[p(x)]

ทุก ๆ x ในเอกภพสัมพัทธ์  ทำให้ p(x) จริง

มีบาง  x  ในเอกภพสัมพัทธ์  ที่ทำให้  p(x) เท็จ

$x[p(x)]

มีบาง  x  ในเอกภพสัมพัทธ์  ที่ทำให้  p(x) จริง

ทุก ๆ x ในเอกภพสัมพัทธ์  ทำให้  p(x) เท็จ

 

ในบางครั้งอาจจะมีตัวแปรในประโยคเปิดมากกว่า  1  ตัว   เช่น   ให้  p(x, y)  เป็นประโยคเปิด   “x + y = 5”   หรือ  q(x, y, z)  แทนข้อความ  “x + y + z  = 

 

 

มาฟังเป็นคำพูดคนธรรมดาดีกว่านะ

 

"x[p(x)]  จะเป็นจริงเมื่อ  ทุกตัวที่มี  แทนค่าลงไปแล้วได้  ค่าความจริงเป็นจริง

                  จะเป็นเท็จได้  เมื่อ   มีแค่ตัวเดียวเท่านั้น  ที่สามารถแทนค่าแล้วค่าความเป็นจริงเป็นเท็จ

$x[p(x)]  จะเป็นจริงเมื่อ  มีแค่บางตัวเท่านั้นที่แทนค่าลงไปแล้วทำให้  ค่าความจริงเป็นจริงได้

                 จะเป็นเท็จ ได้  นั้น  ต้องไม่มีตัวไหนเลยที่แทนลงไปแล้ว  เป็นจริง  (แค่นั้นแหละ  แบบว่า  ไม่มีตัวไรเลย ใน U ที่ทำให้เป็นจริง  มันก็จะเป็นเท็จ)

 

 

 

7.      นิเสธของประพจน์ที่มีวลีบ่งปริมาณ

1.      ~"x[p(x)] º $x[~p(x)]

2.      ~$x[p(x)] º "x[~p(x)]

3.      ~"x"y[p(x, y)] º $x$y[~p(x, y)]

4.      ~"x$y[p(x, y)] º $x"y[~p(x, y)]

5.      ~$x"y[p(x, y)] º "x$y[~p(x, y)]

6.      ~$x$y[p(x, y)] º  "x"y[~p(x, y)]

 

 

 

8.      การอ้างเหตุผล

คือการอ้างว่าเมื่อมีข้อความ  p1, p2, …, pn  ชุดหนึ่ง  เป็นจริง  เราสามารถสรุปข้อความ  c  ได้ หรือไม่  นั่นคือข้อความ  (p1 Ù p2 Ù …Ù pn ) ® c   เป็นสัจนิรันดร์  หรือไม่นั่นเอง

ถ้าข้อความ  (p1 Ù p2 Ù …Ù pn ) ® c   เป็นสัจนิรันดร์     เราจะกล่าวได้ว่า  ข้อความนี้   สมเหตุสมผลกัน  (valid)  แต่ถ้าไม่  เป็น สัจนิรันดร์จะกล่าวอ้าวเหตุผลนี้ว่า   ไม่สมเหตุสมผล  (invalid)

 

 

เช่น

                           เหตุ      1. ~t ® r~

                                       2. ~s

                                       3. t ® w

                                       4. r Ú s

                           ผล       5. w

 

วิธีทำ  ก็นำ  เหตุทุกอันมา   และ   กัน   แล้วนำมา   แล้ว  กับผล   (ลองทำดูนะ.....อย่าพึ่งขี้เกียจล่ะ)